La Cicloide ed il Pendolo Cicloidale

Una curva dalle proprietà molto peculiari è la cicloide, ossia la curva descritta da un punto su una circonferenza che rotola. La cicloide si può vedere fissando una lampadina alla ruota di una bicicletta, meglio se al buio, o anche facendo ruotare un cerchio su cui abbiamo segnato un punto. Nonostante la semplicità della sua descrizione, la cicloide è una curva relativamente moderna. Tra i primi, se non il primo, a prenderla in esame fu Galileo, che osservò come essa potesse descrivere in maniera elegante l'arcata di un ponte. Durante tutto il Seicento, la cicloide fu oggetto di studio da parte dei maggiori matematici, che ne determinarono la lunghezza, l'area racchiusa (che per primo Galileo aveva congetturato essere il triplo del cerchio generatore, come fu dimostrato più tardi in modo indipendente da molti geometri, tra cui Torricelli), il baricentro e altre quantità connesse. Ma le sorprese dovevano aspettare la fine del secolo, quando la cicloide si affermò come soluzione di due importanti problemi matematici. Il primo è relativo alla caduta dei gravi, e segna la nascita di una branca totalmente nuova della matematica: il calcolo delle variazioni. Supponiamo di voler far andare una pallina da un punto A a un punto B posto più in basso, ma non sulla verticale. Possiamo immaginare di costruire un profilo che congiunge i punti A e B, e di far scivolare la pallina lungo di esso. Naturalmente di questi profili ce ne sono infiniti; ci chiediamo allora: ce ne sarà uno che rende minimo il tempo di caduta? A prima vista si potrebbe pensare che la soluzione sia la retta che congiunge A e B. se però ci riflettiamo meglio, vediamo che la retta è sì la linea più breva tra i due punti, ma non necessariamente quella di tempo minimo; potrebbe infatti convenire far partire la pallina più verticalmente, in modo da farle acquistare subito una velocità così elevata da compensare la maggiore lunghezza del cammino da percorrere. Questo problema della curva brachistocrona, o di tempo minimo (dal greco brachistos, minimo, e chronos, tempo) fu posto da Johann Bernoulli come una sfida ai matematici del tempo, e fu risolto tra gli altri da Newton e da Leibniz: la curva che dà il tempo minimo è una cicloide. Bernoulli era così orgoglioso della sua scoperta, da mettere nel frontespizio delle sue Opere la vignetta di un cane che tenta invano di raggiungere una cicloide, con il motto: Supra invidiam, sopra l'invidia. Noi abbiamo messo a confronto la cicloide con la retta: lasciando cadere allo stesso tempo due palline lungo queste due curve, si vede come il tempo per la cicloide sia considerevolmente minore di quello per la retta. La cicloide entra anche in un secondo problema, stavolta di natura più tecnica. Sempre Galileo aveva osservato come le oscillazioni di un pendolo avvengano approssimativamente nello stesso tempo, e ciò indipendentemente dall'ampiezza delle oscillazioni. A partire da questa osservazione di Galileo presero origine i primi orologi a pendolo. In realtà le oscillazioni del pendolo non sono esattamente isocrone: il tempo che occorre per compiere un'oscillazione completa dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, ed è tanto maggiore quanto più ampia è l'oscillazione. Solo per oscillazioni molto piccole il tempo si può considerare essenzialmente costante, e sono queste oscillazioni piccole che si sfruttano per gli orologi a pendolo. Ci si può chiedere allora: come deve essere fatto un pendolo perché le oscillazioni richiedano tutte esattamente lo stesso tempo, o in una parola (anche questa derivata dal greco: tautos, lo stesso, e chronos, tempo) siano rigorosamente isocrone? Vediamo le cose da un punto di vista leggermente diverso. In un pendolo normale il peso oscilla liberamente attaccato a un punto, e quindi lungo una circonferenza. Le sue oscillazioni sono isocrone solo approssimativamente, e richiedono tanto più tempo quanto è più grande l'arco di circonferenza descritto. In questo contesto la domanda diventa: lungo che tipo di curva bisogna fare oscillare un corpo in modo che le oscillazioni siano perfettamente isocrone? La risposta è ancora una volta: la cicloide. Se mettiamo due palline in due punti sulla cicloide, e le lasciamo cadere contemporaneamente, esse si urteranno esattamente nel punto più basso, anche se sono partite una molto vicina e l'altra molto lontana da questo punto. In altre parole, la pallina impiega lo stesso tempo a percorrere l'arco grande e quello piccolo, segno che le oscillazioni sono isocrone. Nella circonferenza ciò non avviene: la pallina che cade da più vicino arriva prima. Se vogliamo allora costruire un orologio a pendolo esattamente isocrono, occorre che il peso oscilli lungo una cicloide. Ma come è possibile obbligare il peso a muoversi lungo questa curva senza farlo strisciare, cioè senza usare un profilo cicloidale? Qui ci serviremo di un trucco: invece di lasciare il peso libero di oscillare (in questo caso descriverebbe una circonferenza) ne condizioneremo la traiettoria facendo adagiare il filo su due profili. In termini matematici, occorrerà sagomare questi profili in modo che la loro evolvente sia un a cicloide. E qui abbiamo una sorpresa: l'evolvente di una cicloide è una seconda cicloide uguale alla prima; di conseguenza i profili devono essere degli archi di cicloide. In questo caso (e solo in questo caso) il pendolo oscillerà su una cicloide, e quindi sarà isocrono. Abbiamo messo a confronto due pendoli: uno libero, che si muove su una circonferenza, e uno cicloidale, ottenuto con i profili in alto. Due fotocellule misurano i periodi, che vengono visualizzati sui computer. Come si vede, mentre il periodo del pendolo ordinario diminuisce con l'ampiezza delle oscillazioni, quello del pendolo cicloidale è rigorosamente costante. Il periodo di tali oscillazioni è dato dalla formula:

dove r è il raggio del cerchio generatore della cicloide e g la consueta accelerazione di gravità.