I numeri metallici

Durante le mie letture a volte mi capita di incontrare qualche argomento curioso relativo al mondo della matematica e ai numeri in particolare. Recentemente  mi sono imbattuto nei Numeri Metallici e ho deciso di approfondire un po' la natura di questi oggetti.
I Numeri Metallici si definiscono in modo algebrico come le soluzioni positive di equazioni di secondo grado del tipo:

dove p e q sono numeri naturali che formano i diversi componenti della famiglia.
Se p=1 e q=1 abbiamo come equazione e relativa soluzione positiva:

ovvero il numero d'oro (aureo).
Se p=2 e q=1 abbiamo invece:

la cui soluzione prende il nome di numero d'argento.
Se p=3 e q=1 (M) e la sua relativa soluzione positiva sono:

noto come numero di bronzo.
Considerando infine p=4 e q=1 abbiamo:

soluzione che prende il nome di numero di rame.
Un Numero Metallico può anche essere scritto sotto forma di frazione continua, ovvero come una espressione del tipo:

Qualsiasi numero irrazionale che contenga una radice quadrata si può esprimere sotto forma di frazione continua e in particolare le soluzioni di un'equazione del tipo x²-bx-1=0 è una frazione continua di periodo b:

Per i numeri razionali la frazione continua equivalente è finita come ad esempio:

Per i Numeri Metallici si ha infine:


Di questi numeri il più noto ed utilizzato è senza dubbio il numero aureo F (iniziale di Fidia, l'architetto greco che progettò il Partenone di Atene) che possiede moltissime proprietà interessanti alle quali magari dedicherò un altro post.