I Solidi Platonici

Nell'antichità classica il ruolo della simmetria come principio ispiratore nella concezione del mondo fisico veniva accentuato dalla rarità di figure solide simmetriche analoghe ai poligoni regolari.
Mentre infatti nel piano abbiamo un'infinità numerabile di poligoni regolari corrispondenti alle rotazioni finite, nello spazio tridimensionale si possono realizzare soltanto cinque poliedri regolari: il Cubo, il Tetraedro, l' Ottaedro, il Dodecaedro, e l' Icosaedro.
Questi poliedri regolari sono tradizionalmente chiamati Solidi Platonici per il ruolo fondamentale che giocano nella cosmogonia elaborata da Platone. In realtà negli Elementi di Euclide (libro XIII), si puntualizza che l'attribuzione a Platone della scoperta di questi poliedri regolari è inesatta. Il cubo, la piramide (il tetraedro) e il dodecaedro vengono attribuiti ai Pitagorici, mentre la scoperta dell' ottaedro e dell' icosaedro viene fatta risalire a Theaetetus.
Di fatto, l'esistenza del cubo, del tetraedro, e dell'ottaedro non sorprende più di tanto data la particolare semplicità di queste figure. Ben diverso è il caso del dodecaedro e dell'icosaedro.
Nel bacino culturale greco, la scoperta del dodecaedro può esser fatta risalire al fatto che nella Magna Grecia (in Sicilia, in particolare) si rinvenivano con facilità bellissimi cristalli di pirite di questa forma.
Si tratta di cristalli quasi perfettamente dodecaedrici, (ma non esattamente: le facce pentagonali dei cristalli di pirite hanno solo 4 lati uguali, come del resto è previsto dalle leggi fisiche della cristallografia classica).
In ogni caso è significativo che oggetti scolpiti in forma di dodecaedro regolare, databili intorno al VI sec.A.C., siano stati rinvenuti in vari siti archeologici italiani.
Platone nel suo dialogo, Timeo, associa il tetraedro, l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro rispettivamente a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco, aria, terra, e acqua.
Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli (come invece avviene per gli altri poliedri citati), veniva invece associato all'immagine del cosmo intero, realizzando la cosiddetta quintessenza.
Questa identificazione suggerisce un'immagine di perfezione che indubbiamente nasce anche dal fatto che il dodecaedro, in volume, approssima più degli altri poliedri regolari la sfera. Un'idea, quest'ultima, già sfruttata da Platone nel dialogo Fedone e sviluppata poi ampiamente nella cosmologia Tolemaico-Aristotelica.
È istruttivo riportare alcuni passi dal Timeo; essi rappresentano certamente uno dei più suggestivi paradigmi dell'immagine nella scienza:

...Assegniamo alla terra la forma cubica: infatti fra i quattro generi la terra è il più immobile e il più plastico dei corpi: ed è assolutamente necessario che sia risultato così quello che ha ricevuto le basi più solide; ma, fra i triangoli postulati da principio, è per natura più solida la base formata da lati uguali rispetto a quella formata da lati disuguali.
All'acqua attribuiremo invece la forma meno mobile fra le rimanenti, quella più mobile al fuoco, quella intermedia all'aria; e il corpo più piccolo al fuoco, il più grande all'acqua, quello intermedio all'aria; e il più acuto al fuoco, il successivo all'aria e il terzo all'acqua.
Tutte queste forme occorre pensarle così piccole da risultare invisibili a noi, ognuna di esse in ciascun genere, a causa della loro esiguità quando invece se ne aggregano molte, la loro massa risulta visibile.
Quanto ai rapporti numerici riguardanti la quantità, i movimenti e le altre loro proprietà, il dio li ha realizzati in tutti i casi in modo esatto e li ha armonizzati matematicamente nella misura in cui la natura della necessità si lasciava persuadere e piegare spontaneamente.
In base a tutto ciò che abbiamo detto sui generi, ecco come potrebbero stare verosimilmente le cose.
La terra, incontrando il fuoco e dissolta dalla sua acutezza, se ne va via, dissolvendosi nel fuoco stesso oppure nella massa dell'aria o dell'acqua, finché le sue particelle si incontrano in qualche luogo e di nuovo si aggregano; e allora rinasce la terra, dato che essa non potrebbe passare in nessun'altra specie.
L'acqua disgregata dal fuoco o anche dall'aria, può ricostituirsi e diventare un solo corpo di fuoco e due di aria. Le particelle dell'aria, se perdono la loro unità, possono diventare due corpi di fuoco. E, al contrario, quando una piccola quantità di fuoco si trova circondata da molta acqua o da molta terra, muovendosi fra elementi mobili a loro volta, combattendo e risultando vinta, viene fatta a pezzi, e due corpi di fuoco si aggregano a comporre un'unica forma di aria...

(Platone - dal Timeo)

La fortuna dei solidi Platonici nell'immaginario scientifico della cultura occidentale è stata enorme, ed è forse connessa ad un punto di vista filosofico che riteneva di poter penetrare profondamente nei segreti della creazione guardando a questi simulacri euclidei del mondo delle idee di Platone.
Arte e Scienza si mescolano in maniera profonda, Piero della Francesca scrive il Libellus de quinque corporibus regularibus, e Luca Pacioli ne dà una versione in volgare nel De divina Proportione (di fatto Vasari, nelle sue Vite, accusa Pacioli di plagio!), commissionando 60 tavole a Leonardo da Vinci con lo scopo di illustrare le possibili variazioni dei poliedri regolari semplici.
L'idea che ispira un tale progetto è di una singolare modernità nel senso che si vuole sostenere (siamo alla fine del XV secolo!), contro i pregiudizi umanistici, come la scienza non sia solo astrazione o pura tecnica ma anche arte liberale.
Keplero, noto ai più per il suo contributo fondamentale all'astronomia, diede un non meno fondamentale contributo sia alla teoria delle tessellazioni del piano, sia allo sviluppo della teoria dei solidi Platonici ( Harmonice mundi 1619). Questi due ruoli di Keplero si fondono poi singolarmente nel suo tentativo (Mysterium cosmographicum) di attribuire le regolarità del sistema planetario alle proprietà dei solidi platonici.
Come avviene per i poligoni nel piano, la regolarità dei solidi platonici è strettamente legata alle proprietà di simmetria dello spazio fisico.
I gruppi finiti di rotazioni associati alle simmetrie dei poliedri regolari costituiscono il punto di partenza di molti campi di ricerca estremamente attivi nella matematica e nella fisica teorica moderna.
Si va dallo studio della classificazione di tutte le geometrie tridimensionali possibili, allo studio dei metodi di quantizzazione del campo gravitazionale tramite l'utilizzo di poliedri generati incollando un numero enormemente grande di tetraedri.
La dinamica di insiemi di poligoni ha applicazioni importanti nella fisica delle superficie e nella teoria delle stringhe.
Vale la pena osservare che in tutti questi casi la dinamica nasce dalla competizione fra ordine e rottura di simmetria: l'antico paradigma si ripete, forse ad un livello più sofisticato, ma sostanzialmente simile a quello che ha ispirato gli antichi filosofi della natura.